Este trabajo de investigación explora la presentación del sistema de coordenadas cartesianas en la Introductio in Analysin Infinitorum de Euler y en los libros de texto de Lacroix Traité du calcul différentiel et du calcul intégral and Traité Élémentaire de Trigonométrie Rectiligne et Sphérique, et d’Application de l’Algèbre a la Géométrie, indagando qué componentes hicieron posible su sistematización, y teniendo presente las dificultades de los estudiantes en el uso de las coordenadas cartesianas. Es un hecho harto conocido que los estudiantes tienen dificultades en la comprensión y el uso de la representación de funciones en el sistema de coordenadas cartesianas (SCC). Esta problemática didáctica nos ha conducido a establecer “qué textos debíamos examinar en la historia y qué preguntas debíamos hacerles” (Puig, 2011, p. 29). Los que hemos elegido examinar desde este punto de vista han sido el libro de Euler Introductio in Analysin Infinitorum (1748), y su traducción francesa de 1796-1797, y los libros de texto de Lacroix Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (1797) y Traité Élémentaire de Trigonométrie Rectiligne et Sphérique, et d’application de l’Algèbre a la Géométrie (1797). Las razones para elegir la Introductio de Euler y los libros de texto de Lacroix son, en primer lugar, que queríamos examinar textos del momento en que la forma actual de representar las funciones en el SCC se estaba constituyendo, y del momento en que se estaba incorporando como materia de enseñanza en los libros de texto. Además, la razón principal para elegir la Introductio de Euler es que es uno de los primeros libros que tratan las coordenadas cartesianas de forma sistemática. Por su parte, los libros de texto de Lacroix han sido elegidos porque 1) elementarizan las matemáticas con el objetivo de enseñarlas (Schubring, 1987), 2) tratan las coordenadas cartesianas de forma progresiva y 3) tuvieron un gran impacto en la enseñanza de las matemáticas no sólo en Francia, sino también en España. El Traité Élémentaire de Trigonométrie Rectiligne et Sphérique, et d’application de l’Algèbre a la Géométrie de Lacroix fue traducido al español como parte del Curso completo elemental de matemáticas, título con que se publicó la traducción española de los libros de texto de Lacroix. Esta traducción fue muy usada ya que el Real Decreto de 1824 del rey Fernando VII sobre el plan general de estudios del Reino, estableció en su artículo 42 que “en todas estas cátedras [refiriéndose a las cátedras de Matemáticas y Ciencias de las Universidades] durarán las lecciones hora y media por la mañana y una por la tarde; sirviendo de texto para las Matemáticas puras la obra de Mr. Lacroix, traducida por Rebollo”. Hasta donde hemos podido averiguar, el Tratado elemental de trigonometría rectilíneay esférica,y de la aplicación del álgebra a la geometría se publicó en ocho ediciones, siendo la octava de 1846. Hemos usado la 6ª edición española de 1820 (Lacroix, 1820), y la 4ª edición del original francés (Lacroix, 1807). El Traité de calcul de Lacroix no se tradujo al español, que sepamos, de modo que hemos usado sólo la primera edición del original francés (Lacroix, 1797). Como resultado de nuestro estudio, hemos establecido que los componentes principales que hicieron posible la sistematización del sistema de coordenadas cartesianas, tal y como ésta se encuentra en los textos analizados, son los siguientes: 1. La dotación de significado a las cantidades negativas en álgebra y en geometría,y el establecimiento de un origen fijo de coordenadas. 2. La constitución del concepto de abscisa. 3. El paso de la noción de aplicada al concepto de ordenada. 4. El paso de las coordenadas como segmentos a las coordenadas como distancias, y el consiguiente paso a las coordenadas como números. 5. El establecimiento de ejes de coordenadas absolutos, esto es, ejes no específicos de la curva.

This research explores the presentation of the Cartesian coordinate system in Euler’s Introductio in Analysin Infinitorum and in Lacroix’s Traité du calcul différentiel et du calcul intégral and Traité Élémentaire de Trigonométrie Rectiligne et Sphérique, et d’Application de l’Algèbre a la Géométrie, searching for what components made possible its systematization, and bearing in mind students’ difficulties. It is a well known fact that students have difficulties with understanding and dealing with the representation of functions in the Cartesian coordinate system (CCS). This didactic problematics has led us to determine “which texts must be sought out in history and what questions we should address to them” (Puig, 2011, p. 29). The texts chosen are Euler’s Introductio in Analysin Infinitorum (1748), and its French translation from 1796-1797, and Lacroix’s Traité du calcul différentiel et du calcul integral (1797) and Traité Élémentaire de Trigonométrie Rectiligne et Sphérique, et d’application de l’Algèbre a la Géométrie (1797). The reasons to choose Euler’s Introductio and Lacroix’s textbooks are, first, that we wanted to study texts from the moment in history when the present way of representing functions in Cartesian coordinates was being constituted, and from the moment when it was being incorporated as a teaching topic in textbooks. Next, the main reason to choose Euler’s Introductio is that it is one of the first books to deal with Cartesian coordinates in a systematic way. Lacroix’s textbooks have been chosen because 1) they elementarize mathematics in order to t each it (Schubring, 1987), 2) They deal specifica lly with Cartesian coordinates in a progressive way, and 3) they had a big impact in the teaching of mathematics, not only in France, but also in Spain. Lacroix’s Traité Élémentaire de Trigonométrie Rectiligne et Sphérique, et d’application de l’Algèbre a la Géométrie was translated into Spanish, as part of the Curso completo elemental de matemáticas, a Spanish translation of Lacroix’s textbooks. This translation was widely used because it was established as an official textbook by King Fernando VII’s law - ranking decree of 1824, whose Article 42 states “in all these Chairs [referring to the Chairs of Mathematics and Sciences in Universities], lessons will last one hour and a half in the morning, and one hour in the evening; being used as textbook the Pure Mathematics by Mr. Lacroix translated by Rebollo”. As far as we have found, the Spanish translation Tratado elemental de trigonometría rectilínea y esférica, y de la aplicación del álgebra a la geometríawas published eight times, the 8th edition being from 1846. We have used the Spanish 6th edition of 1820 (Lacroix, 1820), and the original French 4th edition (Lacroix, 1807). No Spanish translation of Lacroix’s Traité de calcul was published. We have used the original French first edition (Lacroix, 1797). As a result of our study, we state that the main components that make possible the systematization of Cartesian coordinates as presented in these texts are: 1. The endow ment of negative quantities with meaning both in algebra and geometry, and the setting of a fixed origin (of coordinates). 2. The constitution of the concept of abscise. 3. The movement from the notion of applicate to the ordinate concept. 4. The movement from coordinates as segments to coordinates as distances, and the consequent movement to coordinates as numbers. 5. The establishment of absolute coordinate axes, i. e., axe s not specific to the curve.